Tras unos cuantos intentos fallidos (aunque no mucho tiempo dedicado), he conseguido hacer que funcione exim con SMTP-AUTH. Realmente el problema no estaba en establecer la autentificación en la configuración de exim, sino en mi caso, autentificarse correctamente.
Si buscamos por internet, tenemos multitud de páginas donde explican cómo hacerlo (al final del post está la página en la que lo he visto más claro), pero mi problema viene cuando mi ISP (telefonica.net) me indica que mi nombre de usuario es del estilo usuario$telefonica.net.
Ya desde un primer momento, usando mutt, se da uno cuenta que el dolar tiene que escaparse para no generar problemas con las variables del programa o de entorno y así, con mutt -f pop://usuario\$telefonica.net@pop3.telefonica.net se puede acceder a la cuenta vía pop3 sin descargar los correos.
¿Y cómo hacer funcionar exim con este contratiempo ?
Bien, pues probando veo como cuando envío un mail con mutt, recibo un mensaje de error un mensaje de error que dice que telefonica no es una variable válida uhm bien, pues probaremos escapando el backslash, es decir, en el momento de introducir nuestro nombre de usuario en el fichero exim.conf poner (en mi caso) usuario\\$telefonica.net
Una maravilla, los mails salían disparados 
A ver si he podido ayudar a más de uno.
Enlaces (configurar exim y SMTP-AUTH): sindominio.net
P.D. Por si acaso algún día esa página no existe o no está disponible, transcribo lo que hay que incluir en el fichero exim.conf (en general en /etc/exim/exim.con):
remote_smtp:
driver = smtp
authenticate_hosts = sindominio.net
end
login:
driver = plaintext
public_name = LOGIN
client_send = ": usuario : password"
Únicamente tenemos que cambiar usuario (a tener en cuenta lo comentado en este post) y password .
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